martes, 2 de julio de 2013

Aplicacion de los logaritmos comunes

La aplicacion de los logaritmos comunes es la continuación del artículo Uso de las tablas de logaritmos y antilogaritmos comunes y tiene como objetivo aplicar los logaritmos para resolver el producto, cociente, potenciación y raices de números. Estos problemas antiguamente se resolvían gracias  a las tablas de logaritmos y antilogaritmos.

Para que el lector pueda seguir los ejemplos de este artículo se requiere que primero lea el enlace que se le proporciona, allí aprenderá a calcular los logaritmos y antilogaritmos usando las tablas. En este artículo haremos uso de los logaritmos y antilogaritmos, pero no explicaremos como se calcula.

Como ya es costumbre, queremos que estos artículos de matemáticas sean lo más claros y útiles posibles. tratamos de que resulten digeribles y eminentemente prácticos, pero al final del contenido dejamos Notas Adicionales para explicar o analizar la parte teórica que sustenta nuestra exposición.

 Aplicacion de los logaritmos comunes


Propiedades de los Logaritmos


Como ya mencionamos, los algoritmos nacen para resolver problemas prácticos. Ahora nos sorprende que los antiguos sufrieran para realizar multiplicaciones, divisiones, potencias, o extracción de raices. Nosotros tenemos suerte ya que desde primaria se nos enseñan recetas de cocina para estas operaciones, y finalmente en el mundo real usamos calculadoras electrónicas que no solo calculan correctamente estas operaciones, sino también calculan logaritmos, funciones trigonométricas, etc.

Para este artículo ruego al lector olvide que existe la calculadora electónica, la regla de cálculo o las recetas de cocina que aprendió en aritmética básica. Necesitamos realizar estas operaciones y lo único que sabemos es que con logaritmos es posible. ¿Juegas este juego?

[contentbox headline="Observación" type="attention"]Recuerda que la tabla de logaritmos es una aproximación solamente, emplea cuatro cifras significativas siendo la última cifra redondeada. Por lo tanto, el resultado que nos proporciona tiene un margen de error. Por ejemplo, cuando  se resuelven potencias estos errores son muy significativos para números grandes.

Si el lector compara nuestros resultados con los de la calculadora podrá apreciar ciertas diferencias, rogamos que sepa comprender su origen.[/contentbox]

A continuación listamos las propiedades de los logaritmos. Están basados en la teoría de los exponentes, su demostración es muy sencilla pero lo dejamos para las Notas Finales.



Cálculo del producto con logaritmos


La propiedad i)  nos dice que el logaritmo del producto de dos números se reduce a una suma de los logaritmos de cada número.

Ejemplo 1. Calcular el producto 534 x 12


Paso 1.  Usar la propiedad i) y realizar los logaritmos indicados.
log(534 x 12) = log 534 + log 12
= 2.7275 + 1.0792
= 3.8067

Paso 2. Obtenido el logaritmo del producto, calcular el antilogaritmo para encontar el producto.
antilog 3.8067 = 6407

 Ejemplo 2. Hallar el producto de 118 x 0.12


log(118 x 0.12) = log 118 + log 0.12

Paso 1.  Encontrar los logaritmos de los números dados
Observa detenidamente. Las mantisas al ser siempre positiva se han sumado de la manera acostumbrada. Las características pueden ser positivas o negativas, si tienen signo contrario se hace la resta algebraica, se tomará en cuenta cualquier exceso que venga de la mantisa, en nuestro no hay exceso. A 2 le quitamos 1 y queda 1 de resultado.

Paso 2. Ahora, antilog 1.1511 = 14.16

Por lo tanto, 118 x 0.12 = 14.16

 Ejemplo 3. Encontrar 3.12 x 12 x (-23.75)


   log [3.12 x 12 x (-23.75)]
Como no existe el logaritmo de un número negativo (-23.75), vamos a realizar el proceso como si fueran todos números postivos, al final por las leyes de signos (+)(+)(-) = (-) sólo cambiamos el signo.

Paso 1. Encontrar los logaritmos de cada número, y realizar la suma.



Paso 2. Hallar el antilog 2.9613 = 914.7

Por lo tanto, por lo explicado al inicio del ejemplo 3, el resultado final es:

3.12 x 12 x (-23.75) = 924.7

Los Colagoritmos y su uso en la División


El Colagoritmo de un número es el logaritmo  del recíproco de ese número. Se simboliza por colog N.


Por lo tanto, se define como
colog x = -log x


Usos. El cologaritmo de usa básicamente para convertir en suma una resta de logaritmos. Lo aplicaremos a la propiedad del cociente.


Regla para hallar el cologaritmo de un número.


Paso 1. Encontrar el logaritmo del número.
Paso 2. Sumar la unidad a la característica y cambiar el signo del resultado.
Paso 3. Restar de 9 cada una de las cifras de la mantisa, excepto la última cifra significativa a a derecha que se resta de 10.

Ejemplo 4. Encontar el cologaritmo de 512.2


Paso 1.- Hallar el log 512.2 = 2.7095
Paso 2. -(2+1) = -3
Paso 3. Tomamos la mantisa y aplicamos a cada cifra lo indicado en el paso 3 de la regla de los cologaritmos:



Por lo tanto,


Cálculo del Cociente con Logaritmos


El logaritmo del cociente de dos número es la resta de los logaritmos del dividendo menos el logaritmo del divisor. Esta definido en al propiedad ii).

Ejemplo 5. Hallar 532 entre 421


log (532 / 421) = log 532 - log 421

Por la definición de cologaritmo esto se trasforma en

log (532 / 421) = log 532 + colog 421

Dejamos al lector como ejercicio obtener el colog 421, para simplificar nosotros usaremos su resultado en este ejemplo.



Recuerde el lector que las mantisas son siempre positivas, asi que se suman, como dejan un resto de 1 al sumar las características mas el resto: (2+1-3) = 0.

Finalmente, calculamos antilog 0.1016 = 1.264

Por lo tanto, 532 / 421 = 1.264

Ejemplo 6. Calcular el resultado de 17.27 entre 347.8


Tenemos log 17.27/347.8 = log 17.27 + colog 347.8

A) Resolvemos para log 17.27 = 1.2372

B ) Resolvemos para colog 347.8

Paso 1. log 347.8 = 2.5413
Paso 2. -(2+1) = -3
Paso 3.



Ahora procedemos a  realizar la suma de log 17.27 con colog 347.8

De los resultados de A ) y B ):



El resultado de dividir 17.27 entre 347.8 = 0.04965

Calculo de Potencias con Logaritmos


Ejemplo 7. Encontrar el valor de 15 a la tercera potencia.




Ahora encontramos el antilog 3.5283 = 3375

Por lo tanto,

Ejemplo 8. Hallar el valor de la siguiente expresión.






Por las propiedades de potencias y de multiplicación de logaritmos resulta:



Vamos a resolver por separado cada término, y al final realizamos la suma



Para 2log17 tenemos

  2log17 = 2(1.2304) = 2.4608

Ahora realizamos la suma:



Ahora encontramos el antilog 1.0816 = 12.07


Cálculo de Raíces con Logaritmos


Ejemplo 9. Hallar el valor de la raíz quinta de 96.72






Por las propiedades de raices tenemos:



Resolviendo:


Notas Adicionales


Demostración de las propiedades de los logaritmos


Vamos a demostrar las 4 propiedades de los logaritmos, a saber:



La demostración de las propiedades i) a la iv) está basado en la las propiedades de los exponentes. Por definición de logaritmo de base 10 tenemos

Esto quiere decir que el logaritmo es la cantidad que se debe elevar la potencia de 10 para obtener el número original.

Ejemplos:



Para las demostraciones :


Demostración 1.- La propiedad i)



Demostración 2. La propiedad ii)



Demostración 3. Propiedad iii)



Demostración 4. Propiedad iv)


Si hacemos m= 1/n  en el resultado de la demostración 3. Tenemos


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