martes, 18 de junio de 2013

Matemáticas prácticas las proporciones directas e inversas

Las matemáticas básicas, sobre todo la aritmética y álgebra tienen el honor de ser la base de muchas operaciones que se realizan cotidianamente en el mundo de los negocios y en la toma de decisiones. Por tanto, aunque seas de las personas que no se les da mucho esta rama del conocimiento a nivel académico, deberías tener como meta aprender todo lo que puedas de sus métodos para resolver problemas prácticos.

En el artículo del tanto por ciento aprendimos a a utilizar conceptos matemáticos para resolver problemas de descuento o de aumento de precios, así como de comparación de cantidades. El tanto por ciento y la regla de tres descansa sobre las bases del estudio de las  razones y proporciones directas e inversas que analizaremos en este artículo, enfocándonos particularmente en sus aplicaciones prácticas.

Comenzaremos definiendo lo que es una razón, luego avanzaremos hasta las proporciones directas e inversas y veremos cómo este conocimiento nos puede ser de gran valor práctico.

Convenciones


Queremos recordar a nuestros lectores que para la preparación de todos estos artículos de matemáticas aplicadas hemos considerado los siguiente:

  • Hacemos uso de la costumbre de emplear la coma como separador de miles, y el punto para separar la parte entera de la decimal.

  • Cuando veas en una operación algo como: 12(15), (12)(15), etc estamos realizando multiplicación de cantidades, en este caso particular es equivalente a : 12x15.

  • Cuando empleamos valores monetarios, solo colocamos el símbolo de moneda $, el lector puede asumir que estamos hablando de su moneda local o en dólares.


Razones y proporciones directas e inversas


Razón. Es el cociente de dos cantidades, donde al numerador se llama antecedente y al denominador consecuente.



En otras palabras, una razón es la división de dos números. No hemos descubierto el hilo negro, pero es bueno poder clasificar y dar nombres formales a las cosas para llegar a un nuevo conocimiento. Prosigamos.

En esta terminología, supongamos que tenemos la siguiente fracción:



Usando la nueva terminología diremos: es una razón, donde 4 es el antecedente y 3 el consecuente.

Se dice que una razón nos permite comparar dos cantidades, veamos unos ejemplos para sacar partido de este concepto.

Ejemplo 1. Un carro viaja a 150 km por hora, mientras que un avión viaja a 750 km por hora. Si ambos viajan a velocidad constante, ¿Cuántas veces es más rápido el avión que el carro?

En todo problema práctico, para poder hacer una operación aritmética entre cantidades debemos de cuidar que todas las unidades empleadas sean semejantes, como en este caso ambas cantidades están expresadas en km por hora procedemos a realizar una comparación de cantidades por medio de una razón (división):



De este resultado, deducimos que el avión es 5 veces más rápido que el automóvil.

Conversión de Unidades


En el siguiente problema práctico vamos no sólo a comparar dos cantidades, sino a aprender cómo debe hacerse una conversión de unidades para obtener unidades sean semejantes. De paso decir que este tipo de problemas son muy comunes en Fundamentos de Física y Universitaria.

Ejemplo 2. Un conductor de motocicleta acostumbra viajar a 70 km por hora en un camino con poco tráfico, y un carro recorre 150 metros en 5 segundos. ¿Cuántas veces es más rápido el carro que la motocicleta?

Como podemos observar, las unidades que se emplean son distintas, una esta expresada en km por hora, mientras la otra en metros por segundo. Nuestra tarea consiste en convertir uno o ambos valores (según el problema) en unidades semejantes, sólo en ese caso se puede proceder a obtener la Razón, y por tanto a hacer una comparación.

Elijamos metros por segundo como la unidad de conversión común.

Caso de la motocicleta:



Observemos las fracciones etiquetadas como Conversión A y Conversión B, estos productos son los que permiten hacer la conversión de horas a segundos y de kilómetros a metros. Por ejemplo, para convertir horas a segundos, se coloca 1 hr en el numerador (Conversión A) y su equivalente en segundos en el denominador; hacemos algo semejante para km a metros. Esto permite que se cancelen las unidades hr y queden segundos, igual para kilómetros y metros.

Caso del carro:

Aunque el carro esta en metros por segundo, aun debemos hacer un paso más, puesto que el carro recorre 150 metros en 5 segundos. La pregunta debería ser, ¿y cuánto recorre exactamente en 1 segundo?



Ahora que ya tenemos ambas unidades en metros por segundo procedemos a expresarlos como una razón para  hacer la comparación:



Los metros por segundo se cancelan y solo queda el valor numérico 1.5 lo que nos indica que el carro es 1.5 veces más rápido que la motocicleta.


Las proporciones directas e inversas


Ahora pasemos a un caso más interesante, en donde igualamos dos razones.

Una proporción es la igualdad de dos razones.

La cual se representa de dos maneras:



Y se lee así: m es a n como p es a q. a m y q se les llama extremos y a n y p medios.

Existen dos casos interesantes de proporciones las cuales son de gran interés práctico en los negocios.



Veamos cada una de estas y sus ejemplos prácticos representativos.


Proporción directa o regla de tres directa.


Se dice que una proporción es directa si al aumentar o disminuir una de las cantidades, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción.

Si al abordar un problema práctico de detecta que es una proporción directa se emplea la siguiente forma:



Ejemplo 3. Si una tienda de aparatos electrónicos, una docena de refrigeradores se vende en $ 96000, ¿Cuánto es el valor de 8 refrigeradores?

En este caso en particular, se trata de una proporción directa ya que a menos refrigeradores menos será el total, y a más refrigeradores, el total de costo aumenta.

Para hacer un uso adecuado de la formula de la proporción directa veamos quienes son m,n,p y q:

96000 es a 12 como x es a 8, por tanto:



Por tanto el precio de 8 refrigeradores seria $ 64000

Proporciones inversas o regla de tres inversa


Una proporción inversa es aquella donde al aumentar una de las cantiades, la otra disminuye en proporción inversa.

He dicho caso tenemos:



Ejemplo 4. Dos repartidores de refrescos reparten el producto en las tiendas locales en 6 días. ¿Cuántos días tardarán en repartir el mismo producto 3 repartidores?

A más repartidores disminuye el número de días en entregar el producto, por lo tanto, se trata de una proporción inversa:

Identificamos a,b,c y d: 2 es a 6 como 3 es a x:



Por lo tanto,  si se emplearan 3 repartidores para entregar el producto tardarían 4 días.

Ejemplo 5. Se tienen 40 bolsas de arroz de 150 g. ahora con la misma cantidad de arroz de desean crear bolsas de 250 g. ¿Cuántas bolsas de arroz de obtendrían?

Como aumentan los gramos de arroz por bolsa, el total de bolsas que se obtendrían serían menos, por lo tanto esta es una proporción inversa:

Identificando: a,b,c y d: 40 es a 150 como x es a 250:



Por lo tanto se obtendrían 24 bolsas de 250 g.

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